我与初等数论的二三事

无广告版本的都市小说《我与初等数论的二三事》，综合评价五颗星，主人公有初等数论我，是作者“求佛的山洞石榴”独家出品的，小说简介：一、整除定义：整数a、b,且a＜b，a≠0，则a｜b,或（a，b）=1二、整除性质：1、正、负不一定a｜b,则±a｜±b2、传递性a｜b,b｜c,则a｜c.3、每一部分整除，则总和or差也整除b｜cₐ(a=1,2,…,k),则b｜c₁x₁+……4、b｜a,则bc｜ac(c是非零整数)5、潜在的大小关系b｜a, a≠0，则｜b｜≤｜a｜同样的，b｜a，｜a｜＜｜b｜，则a＝0三、拓...

第1章

小说《我与初等数论的二三事》，相信已经有无数读者入坑了，此文中的代表人物分别是初等数论我，文章原创作者为“求佛的山洞石榴”，故事无广告版讲述了：推论2：任何大于1的合数a必有一个不超过√a的素约数。2、素数的个数是无限的。3、若p是一质数，a是任一整数，则a能被p整除或p与a互质。（梦回整除）推论就是整除一乘法，则整除其中一数...

第2章 素数和合数 阅读最新章节

一、定义：

若整数a≠0，±1，并且只有约数±1，±a(平凡约数)，则称a为素数（质数）。否则a为合数。

二、定理（性质）：

1、任何大于1的整数a都至少有一个素约数。

推论1：如果a是大于1的整数，则a的大于1的最小约数必是素数。

推论2：任何大于1的合数a必有一个不超过√a的素约数。

2、素数的个数是无限的。

3、若p是一质数，a是任一整数，则a能被p整除或p与a互质。（梦回整除）

推论就是整除一乘法，则整除其中一数。

4、任何大于1的整数a可以写成素数之积。

5、（算数基本定理）任何大于1的整数a可以唯一表示成：

a=p₁ⁿ¹p₂ⁿ²……(与后面求模a简化剩余系个数相关联)

推论1：它的正因数也能相似表示。

推论2：设a,b是任意两个正整数,且

a=p₁a¹p₂a².b=p₁β¹p₂β².(ai≥0,βi≥0;i=1,2,…,n)

则 (a,b)=p₁y¹p₂y²…,[a,b]=p₁δ¹p₂δ²…

其中:

Yi=min{ai,βi}，δi=max{ai,βi} (i=1,2,…,n)

注意:已知a=p₁a¹p₂a²…是a的标准分解式，则a的不同的正约数个数等于(1+a₁)(1+α₂)…(1+an).

三、书中例题：

前提要点：设A={d₁,d₂,d₃…}是n的所有约数的集合，则B={n/d₁,n/d₂,n/₃…}也是n的所有约数的集合。则：

（1）A与B的元素个数相同。

（2）若d₁｜n,则n/d₁｜n,反之亦然。

（3）若d₁≠d₂，则n/d₁≠n/d₂。

（欧拉定理运用中的简化剩余系有类似例题考点）

1、设d(n)为n的正约数的个数，例如：d(1)=1,d(2)=2,d(3)=2…问：d(1)+d(2)+…+d(2005)是否为偶数？

解题要点：除了平方数的正约数个数为奇数，其余都是成对出现。看2005在哪两个奇数之间，就能判断奇数个数，他的奇偶也就出来了。

2、若n是奇数，则8｜n²-1。

解题要点：设n=2k-1,则n²-1=4k(k-1),k与k-1为连续的两个数，必是一奇一偶，所以8｜n²-1。

平方

3、说明d(1)²+d(2)²+…+d(2005)²被4除余数是多少？

解题要点：从1到2005，恰好有44个平方数，也就是有44个奇数。由于对于奇数a，有4｜（a₁²-1）+（a₂²-1）+…+44。[前面例题2证明过4｜a²-1,其中a为奇数。]

4、设a₁a₂a₃…为整数，且加到第n项的总和为0，乘到第n项的乘积为n,证明4｜n.

解题要点：n分奇偶。如果n是奇数，由于乘积为奇数n,则每一项都为奇数，他们的和不为0（两种情况都可以排除），所以排除。n为偶数，如果只有一个偶数a₁在里面，那么其余数的总和不能等于-a₁，所以4｜n。

5、假设n＞2，试证：n与n!之间至少有一个素数。

解题要点：设不大于n的素数为p₁p₂…pₐ,作q=p₁.p₂.…pₐ-1，因此q中有异于p₁p₂…pₐ的素数p，其中p＞n(有)，又因为 n＜p＜q＜n!-1＜n!。题中要找的素数就是p。

6、试证：形如3n+2的素数有无穷多个。

解题要点：反证法。

先说明一个简单常识,如果形如(3k+2)的数不是素数,必有形如(3k+2)的素因数,否则形如(3k),(3k+1)的数是怎么也乘不到形如(3k+2)这样的数。

再看这道题，如果是有限个,设最大的一个是3k+2。那么将3k+2之前的除去3的所有素数乘起来2*5*7*11*…＊(3k+2)。

令S=2*5*7*11*…＊(3k+2)，

由于S中没有素因数3,所以S不是3的倍数,只能是3n+1或者3n+2的形式,而且还是偶数。

如果是3n+1,那么S+1就是3n+2的形式,但是他不含有2——(3k+2)中的任意一个数为因数,因此就不能有形如(3k+2)的因数。

如果是3n+2,那么S+3还是3n+2的形式,但是他也不含有2——(3k+2)中的任意一个数为因数,因此就不能有形如(3k+2)的因数。

那么就说明都存在一个比3k+2还大的形如（3n+2）的数他只能是素数,与假设矛盾，所以原命题得证。

7、求三个素数，使得他们的积为和的5倍。

解题要点：设三个素数为p，q，r，则pqr=5(p+q+r),于是p，q，r中必有一个等于5.不妨设 r=5,则5pq=5(p+q+5),即pq=p+q+5，(p-1)(q-1)=6.由正整数可以知道有1、6、2、3，所以另外两个数为2、7.